Как сохранить состояние игры, чтобы было как в J2ME RMS.
То есть, когда вышел по кнопке "Назад", "Домой" или экран потух, не было такого, что всё сбрасывалось, при повторном входе в приложение и активити.

Разбиваем задачу на подзадачи:
1. Отловить выход из приложения (onPause, onStop)
2. Сохранить данные (SharedPreferences)

SharedPreferences если данных немного (до неск. килобайт). Иначе Realm, SQlite (https://developer.android.com/topic/libraries/architecture/room.html)

Отловить нажатие/затухание и сериализировать?