Матан-ботан. Вычисление квадратного корня вручную
от aNNiMON
Квадратным корнем из числа 
(корнем второй степени, 
) называется число, которое удовлетворяет уравнению бла-бла-бла...
СТОП!!!
Я не буду заморачивать вас скучным текстом, бесполезными формулами и непонятными определениями. Всем этим и так кормят не один год в учебном заведении. Скажу честно, я ненавижу матан. Ненавижу в первую очередь за то, что его объясняют сухим и скучным языком и прочей ересью.
Посему, это статья будет про матан, от человека, ненавидящего матан. Поехали!
Для начала, давайте подумаем, где нам может пригодиться квадратный корень? Нет, учебное заведение не в счёт! На самом деле бывают ситуации, в которых он действительно необходим. Вот один из таких примеров:
Представьте, что вы поздно возвращаетесь домой. Внезапно подъезжает джип с затёртыми номерами, оттуда выпрыгивают два бугая, нокаутируют вас и закидывают в багажник.
Очнувшись, вы понимаете, что находитесь в тёмном помещении. Внезапно зажигается свет и вы видите перед собой мужчину в шляпе и с папиросой в зубах. Он улыбается и выпускает дым вам в лицо, предлагая сделку: вы решаете несколько примеров и проводите ночь с шикарной девушкой, сидящей слева. Вы поворачиваете голову и понимаете, что о такой девушке мечтали всю свою жизнь! Но мужчина вновь выпускает дым в лицо и продолжает: если примеры будут решены неправильно, вы проведёте ночь в вольере с собаками. Вы поворачиваете голову вправо и видите восемь скалящихся голодных доберманов. По телу пробегает дрожь. Наконец, мужчина протягивает вам лист бумаги с несколькими примерами и ручку. Вы смотрите на этот лист, взгляд очень долго фокусируется из-за страха увидеть интегралы и дифференциальные уравнения.
Наконец, вы осознаёте, что все задания сводятся лишь к одному — подсчитать значение квадратного корня.
Вот это единственный возможный пример, где вам точно пригодится квадратный корень.
Итак, вы понимаете, что это очень простая задача и вам круто повезло. Вспоминаете, в каком из карманов лежит ваш мобильный, достаёте его, запускаете калькулятор и начинаете вводить первый пример, как вдруг...
— НИКАКИХ КАЛЬКУЛЯТОРОВ!!
Мощный кулак разъярённого мужчины с папиросой разбивает ваш любимый смартфон один точным ударом. Вы вздрагиваете, ваше сердце начинает учащённо биться, потому что вы знаете — без калькулятора решить эти примеры будет не так просто.
Вы смотрите на первый пример
Как же его решить?
Первым делом, давайте прикинем в каких границах лежит корень.
, нет, это слишком далеко от правды, наш корень явно больше 10.
, вот, 400 уже ближе к 576, значит корень из 576 близок к 20.
, нет, 900 это уже явно перебор. Значит наш искомый корень лежит где-то между 20 и 30, причём вероятнее, что ближе к 20, так как 576 ближе к 400, чем к 900.
То есть, можно смело предположить, что
.
Далее, смотрим на последнюю цифру заданного примера, то есть на 6. Если какое-то число от 0 до 9 возводить в квадрат, то полученный результат должен оканчиваться этим числом. Это может послужить подсказкой, если корень — целое число.
Итак, какое число нужно возвести в квадрат, чтобы последняя цифра равнялась шести?
, 0 - не годится
, 1 - не годится
, 4 - тоже нет
, 9 - ну никак
, 6 - о, похоже
, 5 - не годится
, 6 - хм, тоже подходит
, 9 - нет
, 4 - мимо
, 1 - не подходит.
Подходящими числами, квадрат которых заканчивается на 6, являются 4 и 6. А это значит, что либо
, либо 
, других вариантов быть не может.
Проверяем наши догадки, возведя число в квадрат и проверив, сходится ли оно с заданным 576. Первым делом следует взять число 24, так как мы ранее предположили, что корень из 576 всё-таки ближе к 20, нежели к 30.
Как раз то самое число, которое нам нужно.
Ответ:
Следующий пример в вашем задании
1. Определяем допустимые границы:
Значит, искомый корень 80 с чем-то. Причём, явно очень близко к 80, чем к 90.
2. Смотрим на последнюю цифру 6561. Какое число от 0 до 9, нужно возвести в степень, чтобы последняя цифра равнялась единице?
Это либо 1 (1*1=1), либо 9 (9*9=81).
Кстати, чтобы каждый раз не возводить все числа от 0 до 9 в квадрат, можно воспользоваться интересным свойством. Последняя цифра распределена симметрично относительно пятёрки:
4 и 6 в квадрате заканчиваются на 8
3 и 7 в квадрате заканчиваются на 9
2 и 8 в квадрате заканчиваются на 4
1 и 9 в квадрате заканчиваются на 1
Для 0 и 5 можно вообще не считать, всё и так сразу видно.
3. Проверяем. Так как мы предположили, что корень из 6561 ближе к 80, чем к 90, то возьмём сразу 81, а не 89.
Готово!
Последующие примеры в вашем задании были похожими на эти, поэтому вы быстро с ними справились, предвкушая горячую ночь с девушкой, на которую вы частенько посматривали, делая вид, что вычисляете что-либо в уме. Но затем попался такой пример:
Хотя на первый взгляд число кажется большим, вычисляется корень не намного сложнее:
1. Границы. Здесь уже придётся начинать не с
и так далее, а с 
.
, мало
, много.
Значит
, причём число не особо приближено ни к 90000, ни к 160000, а значит будет где-то по центру, ближе к 350.
2. Всё так же определим последнюю цифру. На пятёрку у нас заканчивается только квадрат пятёрки, значит:
А вот как быть со вторым числом?
Давайте разобьём исходное число на группы по два числа, справа налево:
11 90 25
и отбросим последнюю группу 25, остаётся:
11 90
Как мы выяснили, корень заданного числа точно начинается на 3. Проводим нехитрую операцию с первой группой 11 и этим числом 3:
Теперь склеиваем со второй группой, получается 290.
Далее проводим хитрую операцию с числом 3 и 290. Тут внимательно. Сперва умножаем 3 на 2, получается 6. Эта 6 обозначает десятки, то есть число от 60 до 69 включительно. Теперь нужно подобрать такое число, чтобы 6x * x было ближе к 290, но не больше:
Число 325 нам не подходит, потому что оно больше 290, а вот 256 то что надо. То есть мы получили число 4.
И вот эта четвёрка и есть наше искомое число.
А именно
Вы, довольные собой, продолжаете решать задачи, следующий пример:
"С лёгкостью", — думаете вы и начинаете решать:
Число близко к 30, нежели к 20.
Далее, какое число заканчивается на 7 при возведении в квадрат? 1 и 9 нет, 2 и 8 нет, 3 и 7 нет, 4 и 6 нет, о, ну уж точно не 5 и не 0. Так что же получается, число не имеет целого корня?
Мужчина с папиросой поясняет вам, что нужно найти корень с точностью до сотых. Одно дело работать с большими числами, и совсем другое с дробными!!
Но мы не будем унывать и воспользуемся методом Ньютона.
Итак, мы определили, что
Число 20 явно не является корнем, поэтому начнём с 21. Делим наше заданное 777 на 21:
777 / 21 = 37
Находим среднее из 21 и 37:
(37 + 21) / 2 = 58 / 2 = 29
Теперь делим 777 на 29, получаем 26.7931
Снова находим среднее, теперь между 29 и полученным числом:
(29 + 26.7931) / 2 = 27.89655
Повторяем:
777 / 27.89655 = 27.8529
(27.89655 + 27.8529) / 2 = 27.87472
Уже видно, что результат стремится к какому-то числу, и можно с уверенностью сказать, что
Повторим операцию ещё раз, ведь от точности результата будет зависеть с кем вы проведёте ночь.
777 / 27.87472 = 27.874719
(27.87472 + 27.874719) / 2 = 27.8747195
Видим, что часть цифр начинает повторяться, значит мы добились некоторой точности.
Ответ:
Наконец, последний пример
Не обращая внимание на то, что число дробное, работаем сначала с правой частью: 9876
, мало
, много.
Но судя по всему, корень 9876 очень близок к 100. Это значит, что корень из 0.9876 будет близок к единице, но выглядеть будет так:
Делим 0.9876 на 1, получаем 0.9876.
Почему делили именно на 1, а не на 0.9? Всё очень просто, так как по нашим меркам, число ближе к 1, а не к 0.9, то делим на единицу. Можно было взять и 0.98, или 0.99. В общем то, число, которое как вам кажется ближе к искомому результату.
Продолжаем.
(1 + 0.9876) / 2 = 0.9938
0.9876 / 0.9938 = 0.99376
(0.9938 + 0.99376) / 2 = 0.99378
0.9876 / 0.99378 = 0.99378
Поскольку полученное значение совпадает с предыдущим, то дальше не имеет смысла считать, значит
Вы в последний раз всё проверяете, затем дрожащей рукой протягиваете листок с ответами мужчине. Тот берёт его в руки, встаёт из-за стола и уходит прочь в темноту. Начинается угнетающее ожидание. Сегодня вам предстоит самая необычная ночь в вашей жизни, вот только будет ли она приятной, решится через несколько минут.
Наконец где-то в глубине помещения скрипит дверь, слышны шаги, вскоре из тени выходит человек в шляпе и с папиросой в зубах. Он пристально смотрит в ваши глаза. А вы, пытаясь сдержать самообладание, сжимаете волю в кулак и готовитесь к худшему. Так продолжается пол минуты, но для вас они кажутся вечностью...
И вот, мужчина протягивает вам ключи от номера в пятизвёздочном отеле, пожимает вам руку и желает приятной ночи. Зажигается свет во всём помещении и вы видите направляющегося к вам официанта с бутылкой дорого вина Шато Линш Баж, к вам подходит девушка и берёт вас под руку, а вдали вы видите водителя лимузина, который доставит вас и вашу даму в лучший отель города.
★ HAPPY MATH END ★
СТОП!!!
Я не буду заморачивать вас скучным текстом, бесполезными формулами и непонятными определениями. Всем этим и так кормят не один год в учебном заведении. Скажу честно, я ненавижу матан. Ненавижу в первую очередь за то, что его объясняют сухим и скучным языком и прочей ересью.
Посему, это статья будет про матан, от человека, ненавидящего матан. Поехали!
Для начала, давайте подумаем, где нам может пригодиться квадратный корень? Нет, учебное заведение не в счёт! На самом деле бывают ситуации, в которых он действительно необходим. Вот один из таких примеров:
Представьте, что вы поздно возвращаетесь домой. Внезапно подъезжает джип с затёртыми номерами, оттуда выпрыгивают два бугая, нокаутируют вас и закидывают в багажник.
Очнувшись, вы понимаете, что находитесь в тёмном помещении. Внезапно зажигается свет и вы видите перед собой мужчину в шляпе и с папиросой в зубах. Он улыбается и выпускает дым вам в лицо, предлагая сделку: вы решаете несколько примеров и проводите ночь с шикарной девушкой, сидящей слева. Вы поворачиваете голову и понимаете, что о такой девушке мечтали всю свою жизнь! Но мужчина вновь выпускает дым в лицо и продолжает: если примеры будут решены неправильно, вы проведёте ночь в вольере с собаками. Вы поворачиваете голову вправо и видите восемь скалящихся голодных доберманов. По телу пробегает дрожь. Наконец, мужчина протягивает вам лист бумаги с несколькими примерами и ручку. Вы смотрите на этот лист, взгляд очень долго фокусируется из-за страха увидеть интегралы и дифференциальные уравнения.
Наконец, вы осознаёте, что все задания сводятся лишь к одному — подсчитать значение квадратного корня.
Вот это единственный возможный пример, где вам точно пригодится квадратный корень.
Итак, вы понимаете, что это очень простая задача и вам круто повезло. Вспоминаете, в каком из карманов лежит ваш мобильный, достаёте его, запускаете калькулятор и начинаете вводить первый пример, как вдруг...
— НИКАКИХ КАЛЬКУЛЯТОРОВ!!
Мощный кулак разъярённого мужчины с папиросой разбивает ваш любимый смартфон один точным ударом. Вы вздрагиваете, ваше сердце начинает учащённо биться, потому что вы знаете — без калькулятора решить эти примеры будет не так просто.
Вы смотрите на первый пример
Как же его решить?
Первым делом, давайте прикинем в каких границах лежит корень.
То есть, можно смело предположить, что
Далее, смотрим на последнюю цифру заданного примера, то есть на 6. Если какое-то число от 0 до 9 возводить в квадрат, то полученный результат должен оканчиваться этим числом. Это может послужить подсказкой, если корень — целое число.
Итак, какое число нужно возвести в квадрат, чтобы последняя цифра равнялась шести?
Подходящими числами, квадрат которых заканчивается на 6, являются 4 и 6. А это значит, что либо
Проверяем наши догадки, возведя число в квадрат и проверив, сходится ли оно с заданным 576. Первым делом следует взять число 24, так как мы ранее предположили, что корень из 576 всё-таки ближе к 20, нежели к 30.
- 24 *
- 24
- =
- 96+
- 48
- =
- 576
Как раз то самое число, которое нам нужно.
Ответ:
Следующий пример в вашем задании
1. Определяем допустимые границы:
Значит, искомый корень 80 с чем-то. Причём, явно очень близко к 80, чем к 90.
2. Смотрим на последнюю цифру 6561. Какое число от 0 до 9, нужно возвести в степень, чтобы последняя цифра равнялась единице?
Это либо 1 (1*1=1), либо 9 (9*9=81).
Кстати, чтобы каждый раз не возводить все числа от 0 до 9 в квадрат, можно воспользоваться интересным свойством. Последняя цифра распределена симметрично относительно пятёрки:
4 и 6 в квадрате заканчиваются на 8
3 и 7 в квадрате заканчиваются на 9
2 и 8 в квадрате заканчиваются на 4
1 и 9 в квадрате заканчиваются на 1
Для 0 и 5 можно вообще не считать, всё и так сразу видно.
3. Проверяем. Так как мы предположили, что корень из 6561 ближе к 80, чем к 90, то возьмём сразу 81, а не 89.
- 81+
- 81
- =
- 81+
- 648
- =
- 6561
Последующие примеры в вашем задании были похожими на эти, поэтому вы быстро с ними справились, предвкушая горячую ночь с девушкой, на которую вы частенько посматривали, делая вид, что вычисляете что-либо в уме. Но затем попался такой пример:
Хотя на первый взгляд число кажется большим, вычисляется корень не намного сложнее:
1. Границы. Здесь уже придётся начинать не с
Значит
2. Всё так же определим последнюю цифру. На пятёрку у нас заканчивается только квадрат пятёрки, значит:
А вот как быть со вторым числом?
Давайте разобьём исходное число на группы по два числа, справа налево:
11 90 25
и отбросим последнюю группу 25, остаётся:
11 90
Как мы выяснили, корень заданного числа точно начинается на 3. Проводим нехитрую операцию с первой группой 11 и этим числом 3:
Теперь склеиваем со второй группой, получается 290.
Далее проводим хитрую операцию с числом 3 и 290. Тут внимательно. Сперва умножаем 3 на 2, получается 6. Эта 6 обозначает десятки, то есть число от 60 до 69 включительно. Теперь нужно подобрать такое число, чтобы 6x * x было ближе к 290, но не больше:
Число 325 нам не подходит, потому что оно больше 290, а вот 256 то что надо. То есть мы получили число 4.
И вот эта четвёрка и есть наше искомое число.
А именно
Вы, довольные собой, продолжаете решать задачи, следующий пример:
"С лёгкостью", — думаете вы и начинаете решать:
Число близко к 30, нежели к 20.
Далее, какое число заканчивается на 7 при возведении в квадрат? 1 и 9 нет, 2 и 8 нет, 3 и 7 нет, 4 и 6 нет, о, ну уж точно не 5 и не 0. Так что же получается, число не имеет целого корня?
Мужчина с папиросой поясняет вам, что нужно найти корень с точностью до сотых. Одно дело работать с большими числами, и совсем другое с дробными!!
Но мы не будем унывать и воспользуемся методом Ньютона.
Итак, мы определили, что
Число 20 явно не является корнем, поэтому начнём с 21. Делим наше заданное 777 на 21:
777 / 21 = 37
Находим среднее из 21 и 37:
(37 + 21) / 2 = 58 / 2 = 29
Теперь делим 777 на 29, получаем 26.7931
Снова находим среднее, теперь между 29 и полученным числом:
(29 + 26.7931) / 2 = 27.89655
Повторяем:
777 / 27.89655 = 27.8529
(27.89655 + 27.8529) / 2 = 27.87472
Уже видно, что результат стремится к какому-то числу, и можно с уверенностью сказать, что
Повторим операцию ещё раз, ведь от точности результата будет зависеть с кем вы проведёте ночь.
777 / 27.87472 = 27.874719
(27.87472 + 27.874719) / 2 = 27.8747195
Видим, что часть цифр начинает повторяться, значит мы добились некоторой точности.
Ответ:
Наконец, последний пример
Не обращая внимание на то, что число дробное, работаем сначала с правой частью: 9876
Но судя по всему, корень 9876 очень близок к 100. Это значит, что корень из 0.9876 будет близок к единице, но выглядеть будет так:
Делим 0.9876 на 1, получаем 0.9876.
Почему делили именно на 1, а не на 0.9? Всё очень просто, так как по нашим меркам, число ближе к 1, а не к 0.9, то делим на единицу. Можно было взять и 0.98, или 0.99. В общем то, число, которое как вам кажется ближе к искомому результату.
Продолжаем.
(1 + 0.9876) / 2 = 0.9938
0.9876 / 0.9938 = 0.99376
(0.9938 + 0.99376) / 2 = 0.99378
0.9876 / 0.99378 = 0.99378
Поскольку полученное значение совпадает с предыдущим, то дальше не имеет смысла считать, значит
Вы в последний раз всё проверяете, затем дрожащей рукой протягиваете листок с ответами мужчине. Тот берёт его в руки, встаёт из-за стола и уходит прочь в темноту. Начинается угнетающее ожидание. Сегодня вам предстоит самая необычная ночь в вашей жизни, вот только будет ли она приятной, решится через несколько минут.
Наконец где-то в глубине помещения скрипит дверь, слышны шаги, вскоре из тени выходит человек в шляпе и с папиросой в зубах. Он пристально смотрит в ваши глаза. А вы, пытаясь сдержать самообладание, сжимаете волю в кулак и готовитесь к худшему. Так продолжается пол минуты, но для вас они кажутся вечностью...
И вот, мужчина протягивает вам ключи от номера в пятизвёздочном отеле, пожимает вам руку и желает приятной ночи. Зажигается свет во всём помещении и вы видите направляющегося к вам официанта с бутылкой дорого вина Шато Линш Баж, к вам подходит девушка и берёт вас под руку, а вдали вы видите водителя лимузина, который доставит вас и вашу даму в лучший отель города.
★ HAPPY MATH END ★
